Типовой расчет для студентов 2 курса факультета Пищевых технологий (агротехнологический)
Задание 1. Решить задачу.
1. Имеется 8 образцов пшеницы, из которых три заражены клещом. Наудачу взяли два образца. Найти вероятность того, что: а) оба заражены клещом; б) один заражен клещом, а другой нет.
2. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок поразит мишень, если вероятность попадания в цель для первого равна 0,93, а для второго 0,84.
3. Игральная кость бросили один раз. Найти вероятность того, что выпадет: а) два очка; б) не более трех очков.
4. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, среди которых 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Найти вероятность того, что в ее состав войдут два мужчины и одна женщина.
5. В корзине 12 яблок, из них 4 сорта А, остальные сорта В. Взяли 3 яблока. Найти вероятность того, что: а) все три будут сорта А; б) только одно яблоко сорта А.
6. Известно, что всхожесть пшеницы составляет 90%. Сколько необходимо взять зерен, чтобы взошло 360 растений.
7. В коробке имеется 5 шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения в коробку. Найти вероятность того, что последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5.
8. Вероятность обнаружения первого объекта равна 0,1, второго – 0,4, третьего – 0,2. Найти вероятность того, что будет обнаружено не более одного объекта.
9. В коробке 3 красных, 5 зеленых и 7 синих карандаша. Наудачу извлекают три. Какова вероятность того, что: а) все три вынутых карандаша синие; б) вынутые карандаши разного цвета.
10. Стрелок сделал три выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,75. Какова вероятность того, что: а) он ни разу не попал; б) он промахнулся один раз.
11. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 3; б) на обеих гранях выпало одинаковое число очков.
12. В ящике 7 белых , 5 черных и 3 красных кубика. Наудачу извлекают два кубика. Найти вероятность того, что: а) оба кубика белые; б) один черный и один красный.
13. Куплено три лотерейных билета. Вероятность выигрыша по каждому равна 0,02. Найти вероятность того, что выиграют все три билета.
14. Какова вероятность того, что вынутую наугад косточку домино можно приставить к ранее вынутой косточке 1:1.
15. В ящике находятся жетоны с номерами от одного до 50. Найти вероятность того, что номер первого взятого наудачу жетона не содержит цифру 9.
16. Всхожесть семян дикой яблони равна 60%. Сколько потребуется высеять семян, чтобы взошло 120 ростков?
17. В ящике находятся шары с номерами от 1 до 30. Наудачу вынимают два шара. Найти вероятность того, что они имеют четные номера.
18. Какова вероятность того, что при бросании одной игральной кости выпадет или цифра 1, или цифра кратная 3?
19. Двое охотников одновременно выстрелили по медведю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что промахнулся первый охотник, если вероятности попадания для каждого соответственно равны 0,4 и 0,5.
20. У сборщика 20 деталей, среди которых 11 первого вида и по 3 второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди 8 взятых одновременно деталей пять окажется первого вида, две второго и одна третьего.
21. Вероятность попадания в цель у первого стрелка равна 0,6, а у второго – 0,9. Найти вероятность того, что при одном выстреле будет не более одного попадания в цель.
22. Найти вероятность того, что взятая наугад из полного комплекта косточка домино содержит 8 очков.
23. Пусть вероятности выигрыша по трем лотерейным билетам соответственно равны: по 1-му – 0,1, по 2-му – 0,3, а по 3-му – 0,5. Какова вероятность выигрыша по двум билетам?
24. Вероятность обнаружения первого объекта равна 0,3, второго – 0,7, третьего – 0,4. Найти вероятность того, что будет обнаружено два объекта.
25. Имеется 9 образцов пшеницы, из которых два заражены клещом. Наудачу взяли три образца. Найти вероятность того, что один из них заражен клещом.
26. Собрание, на котором присутствуют 20 человек, среди которых 4 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Найти вероятность того, что в ее состав войдут два мужчины и одна женщина.
27. В коробке имеется 6 шаров с номерами от 1 до 6. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения в коробку. Найти вероятность того, что последовательно появятся шары с номерами 2, 3, 5.
28. Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Найти вероятность того, что тома стоят в должном порядке, т. е. слева направо.
29. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 5; б) на обеих гранях выпали шестерки.
30. В ящике 9 синих, 3 черных и 3 красных кубика. Наудачу извлекают два кубика. Найти вероятность того, что: а) оба кубика синие; б) один черный и один красный.
Задание 2. Решить задачу.
1. Всхожесть семян равна 80%, вычислите вероятность прорастания 450 семян из 500 посаженных, найдите наивероятнейшее число всходов.
2. Эффективность некоторой вакцины в формировании иммунитета составляет 75%. Вакцинировалось 50 животных. Найти вероятность того, что не менее 45 из них приобрели иммунитет.
3. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,3. Какова вероятность того, что при пяти выстрелах будет не более одного попадания?
4. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее двух.
5. Доля изделий первого сорта составляет 80%. Наудачу взято 350 изделий. Какова вероятность того, что среди них 200 штук первого сорта? Вычислите наивероятнейшее число изделий первого сорта.
6. У шести животных имеется заболевание, причем вероятность выздоровления равна 0,98. Какова вероятность того, что не меньше пяти животных окажутся здоровыми.
7. Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 сорняков?
8. При автоматической прессовке карболитовых болванок 20% общего числа не имеют зазубрин. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 болванок от 70 до 100 штук не имеют зазубрин.
9. Из семян данного растения обычно всходит 80%. Найти вероятность того, что из 500 семян взойдет 440 и наивероятнейшее число всходов.
10. Штамповка металлических клемм для пластин дает 20% брака. Определить вероятность того, что из 600 клемм не более 125 не соответствует стандарту.
11. Посажено 7 деревьев с вероятностью выживания для каждого из них 0,9. Найти вероятность того, что выживет не менее шести деревьев.
12. Книга издана тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит пять неправильно сброшюрованных книг.
13. Найти вероятность выпадения трех очков на одной игральной кости не менее 30 и не более 40 раз при 50 бросках.
14. В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти волокон длинными окажется: а) три; б) не более двух.
15. В телевизоре 10 ламп, для любой из которых вероятность того, что она останется исправной в течение года, равна 0,9. Какова вероятность того, что в течение года из строя выйдет: а) одна лампа; б) не более двух ламп.
16. Десять стрелков стреляют по мишени. Вероятность попадания для каждого из них в данных условиях равна 0,5. Найти вероятность того, что после одного залпа окажутся не менее трех и не более пяти попаданий.
17. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение часа откажут не более двух элементов.
18. В некотором водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность того, что из пяти выловленных рыб окажутся: а) 4 карпа; б) не менее четырех карпов.
19. Доля плодов, зараженных болезнью в скрытой форме, составляет 25%. Случайным образом отбирают 6 плодов. Определить вероятность того, что будет заражено не более двух плодов?
20. Посеяно 1000 семян. Найти вероятность того, что взойдет 900 семян, если всхожесть семян составляет 80%.
21. Монета брошена 2100 раз. Найти вероятность того, что «орел» выпадет не менее 1470 и не более 1500 раз.
22. Из семян данного растения обычно всходит 90%. Найти вероятность того, что из 5 семян взойдет не менее трех.
23. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных.
24. Вычислите вероятность того, что не менее 80 кинескопов из 92 выдержат гарантийный срок службы, если вероятность выхода из строя одного кинескопа в течение гарантийного срока равна 0,9.
25. На тракторном заводе рабочий за смену изготавливает 192 детали. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта 0,75. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет не более 170 штук.
26. Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделаны прививки против туберкулеза, не болеют им. Какова вероятность того, что из 100000 граждан, получивших прививки, 5800 не защищены от болезни.
27. Производится сортировка стеклянных изделий. Вероятность того, что при этом изделие будет разбито, равна 0,004. Найти вероятность того, что их 1000 изделий, подвергнутых сортировке, окажутся разбитыми 5 изделий.
28. Прибор состоит из 4 узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену откажут: а) 2 узла; б) не менее двух узлов.
29. Найти вероятность своевременной доставки газет в 296 геологических экспедиций из 320, если вероятность своевременной доставки газет в каждую экспедицию равна 0,9. Найти наивероятнейшее число доставок.
30. Птицеферма отправила на базу 5000 доброкачественных яиц. Вероятность того, что в пути яйцо повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три непригодных яйца.
Задание 3. Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы. Найти:
а) вероятность рi;
б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
в) функцию распределения вероятности этой величины F(x), изобразить ее графически;
г) найти вероятность попадания величины в интервал (5;13).
Задание 4. Решить задачу.
1. В группе из 6 цыплят, подвергавшихся экспериментальному воздействию, вероятность погибнуть для каждого цыпленка равна 0,4. Составить закон распределения числа погибших цыплят. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
2. В коробке имеется 4 шара с номерами 1,2,3,4. Вынули два шара. Случайная величина Х – сумма номеров вынутых шаров. Постройте ряд распределения случайной величины. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
3. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
4. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составьте закон распределения величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
5. В коробке 6 белых и 4 черных шара. Из коробки извлекли шар, пять раз подряд, причем каждый раз возвращали его обратно и шары перемешивали. Составьте закон распределения для величины Х – числа появившихся белых шаров. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
6. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,04. Среди 20 выбранных деталей не более 4 бракованных. Составьте закон распределения числа бракованных деталей выборки. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
7. Снайпер стреляет 4 раза по замаскированному противнику до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле равна 0,8. Составьте закон распределения числа промахов. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
8. Имеется пять лампочек, каждая из которых может иметь дефект с вероятностью 0,1. Лампочку ввинчивают в патрон и включают, при включении тока дефектная лапочка сразу же перегорает, после чего заменяется другой. Составьте закон распределения числа апробированных лампочек. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
9. Игральная кость брошена три раза. Напишите закон распределения числа появления шестерки. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
10. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,8. Составьте закон распределения числа работающих в данный момент машин. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
11. В цехе 5 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он включен в данный момент времени, равна 0,7. Составьте закон распределения числа моторов, включенных в данный момент. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
12. Производят испытания на надежность пяти изделий. Вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна 0,4. Составьте закон распределения числа изделий, выдержавших испытание. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
13. Стрелок ведет стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,4. Составьте ряд распределения числа промахов при пяти выстрелах. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
14. Производятся испытания на надежность шести изделий. Вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна 0,3. Постройте закон распределения величины Х – числа изделий, выдержавших проверку. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
15. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправных. Из партии выбрано 4 телефона. Составьте закон распределения числа неисправных телефонов среди отобранных. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
16. Стрелок ведет стрельбу по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2. Составьте закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
17. В партии из пяти изделий одно бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и каждое взятое изделие проверяют. Составьте закон распределения числа проверенных изделий. Вычислите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
18. В партии из 21 детали 7 деталей второго сорта, остальные первого. Случайным образом отобраны 4 детали. Составьте ряд распределения числа деталей первого сорта в выборке. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
19. Мяч бросают в корзину до первого промаха, но число бросков не более пяти. Составьте ряд распределения числа бросков, если вероятность попадания мяча в корзину при каждом броске равна 0,4. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
20. Из 17 спортсменов, среди которых 10 легкоатлетов, случайным образом составляют сборную команду для соревнований. Команду составляют из 4 человек. Найдите закон распределения случайного числа легкоатлетов, попавших в команду.
21. На пути движения автомобиля 4 светофора, каждый из которых либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомобиля с вероятностью 0,5. Составьте закон распределения величины Х – числа пройденных светофоров до первой остановки. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
22. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Составьте закон распределения числа опробований при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
23. В коробке 4 зеленых и 5 синих карандашей. Из коробки наудачу один за другим без возвращения извлекают карандаши до тех пор, пока не появится синий карандаш. Составьте ряд распределения числа появившихся при извлечении зеленых карандашей. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
24. Составьте закон распределения суммы очков, выпадающих при бросании двух игральных костей. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
25. В группе из 5 цыплят, подвергавшихся экспериментальному воздействию, вероятность погибнуть для каждого цыпленка равна 0,5. Составить закон распределения числа погибших цыплят. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
26. На 20 приборов имеется в среднем 6 неточных. Составьте закон распределения величины Х – числа точных приборов среди наудачу отобранных 5 приборов. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
27. В студии 5 телевизионных камер. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент времени, равна 0,6. Составьте закон распределения числа включенных в данный момент камер. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
28. Баскетболист забрасывает в корзину мяч до тех пор, пока не попадет. Составьте закон распределения числа попаданий при 5 бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,4. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
29. Вероятность того, что покупатель в магазине приобретет нужную ему вещь, равна 0,3. Составьте закон распределения числа магазинов, которые посетит покупатель в поиске нужной вещи, если эта вещь может продаваться в 5 известных ему магазинах. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
30. Пшеница посеяна на 19 опытных участках, из которых на трех участках урожайность 14 ц/га, на трех – 16 ц/га, на семи – 18 ц/га, на четырех – 20 ц/га. Составить закон распределения урожайности пшеницы. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Задание 5. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения. Найти:
а) плотность распределения (дифференциальную функцию распределения) случайной величины;
б) построить график функции распределения и её плотности;
в) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Задание 6. Решить задачу.
Варианты 1-6.
Известно, что процент жира в молоке большой группы коров есть случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ. Требуется:
• составить уравнение и построить график кривой распределения f(x);
• найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β);
• найти вероятность того, что % жира в молоке у взятой наудачу коровы отличается от математического ожидания не более чем на ε%;
• найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 следует ожидать % жира в молоке этой группы коров.
Варианты 7-12.
Масса семян некоторого растения есть случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ. Требуется:
• составить уравнение и построить график кривой распределения f(x);
• найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β);
• найти вероятность того, что масса наудачу взятого семени отличается от математического ожидания не более чем на ε грамм;
• найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 следует ожидать массу семян растения этой партии.
Варианты 13-18.
Масса выловленной в пруду рыбы есть случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ. Требуется:
• составить уравнение и построить график кривой распределения f(x);
• найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β);
• найти вероятность того, что масса пойманной рыбы будет отличаться от математического ожидания не более чем на ε грамм;
• найти границы, в которых с вероятностью 0,6826 следует ожидать массу пойманной рыбы.
Варианты 19-24.
Диаметр детали в большой партии есть случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ. Требуется:
• составить уравнение и построить график кривой распределения f(x);
• найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β);
• найти вероятность того, что диаметр взятой наудачу детали из этой партии будет отличаться от математического ожидания не более чем на ε мм;
• найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 следует ожидать диаметр взятой наудачу детали.
Варианты 25-30.
Масса яблока есть случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ. Требуется:
• составить уравнение и построить график кривой распределения f(x);
• найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β);
• найти вероятность того, что масса яблока будет отличаться от математического ожидания не более чем на ε грамм;
• найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 следует ожидать массу яблока.
